§ 8. Дискретные случайные величины

Пусть { W, Á , Р } - вероятностное пространство. Случайная величина x(w) называется дискретной, если она принимает конечное или счетное число значений.

Если х1 , х2 , ... , хn , ... - значения дискретной случайной величины, то для каждого n {w: x(w) = хn} Î Á , и можно определить вероятность

рn = Р{ w: x(w) = хn}. (8.1)

Набор вероятностей р_n (8.1) называется распределением дискретной случайной величины x(w). Дискретную случайную величину x(w) удобно характеризовать с помощью табл. 8.1.

Таблица 8.1

xi	х1	х2	...	хn	...
pi	р1	р2	...	рn	...

Заметим, что рi ³ 0, Таблица (8.1) называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Графическое изображение ряда распределения дискретной случайной величины наглядно характеризует многоугольник распределения случайной величины. Многоугольник случайной величины строится следующим образом: по оси абсцисс отложить х1, х2,..., хn , а по оси ординат р1 ,р2, ..., рn и соединить соседние точки с координатами (хi, p_i) на плоскости отрезками.

Зная закон (ряд) распределения дискретной случайной величины, можно построить функцию распределения, представляющую собой в этом случае функцию накопленных вероятностей

F_x(х) = Р{ w: x(w) = х_i}, (8.2)

где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых х_i< х. Из (8.2) следует, что

F_x(х_к+0) - F_x(хк) =Р{ x = х_к},

х_кÎ{ х1 , х2 , ... , хn , ... }, т.е. функция распределения испытывает скачки в точках хк, для которых Р{x = х_к} > 0.

Пример 8.1. Игрок трижды бросает симметричную монету. Он получает $1 при каждом появлении "герба", и платит $1 при каждом появлении "решетки".

Обозначим x его “выигрыш” после третьего бросания.

Найти:

o а) ряд распределения x;

б) функцию распределения x. Построить график функции распределения.

Р е ш е н и е.

а). Пространство элементарных событий состоит из восьми элементов

W = { w₁ = (РРР), w₂ = (РРГ), w₃ = (РГР), w₄ = (ГРР), w₅ = (ГГР), w₆ = (ГРГ), w₇ = (РГГ), w₈ = (ГГГ) }.

Вычисляем значения x:

x( w₁ ) = -3, x( w₂ ) = x( w₃ ) = x( w₄ ) = -1,

x( w₅ ) = x( w₆ ) = x( w₇ ) = 1, x( w₈ ) = 3.

Теперь вычислим соответствующие вероятности:

Р{x = -3} = 1/8, P{x = -1} = 3/8, P{x = 1} = 3/8, P{x = 3} = 1/8.

Ряд распределения имеет вид:

хi	-3	-1	1	3
рi	^1/8	^3/8	^3/8	^1/8

Построим многоугольник распределения для случайной величины x .

Теперь можно записать аналитический вид функции распределения F_x(х): если х £ -3, то событие { w: x(w) < х} является невозможным и

Р{ w: x(w) < х} = 0.

Если -3 < x £ -1, то Р{ w: x(w) < х} = 1/8, и т.д. Согласно (8.2) будем иметь:

График функции распределения имеет вид:

Рис. 8.1

В оглавление